Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+bx+c}{{e}^{x}}$（a＞0）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為-3和0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）-m=0有三個(gè)不同的解，求m的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求出b=c=5a，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）的極值，畫出函數(shù)f（x）的草圖，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+（2a-b）x+b-c}{{e}^{x}}$，
令g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c，
因?yàn)閑^x＞0，所以y=f′（x）的零點(diǎn)就是g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c的零點(diǎn)，
且f′（x）與g（x）符號(hào)相同．
又因?yàn)閍＞0，所以-3＜x＜0時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0，
當(dāng)x＜-3或x＞0時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-3，0），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-3），（0，+∞）．
（2）由（1）知，x=-3，0是f（x）的極值點(diǎn)，
所以有$\left\{\begin{array}{l}{f′（-3）=\frac{-15a+4b-c}{{e}^{-3}}=0}\\{f′（0）=\frac{b-c}{{e}^{0}}=0}\end{array}\right.$，解得b=c=5a，
所以$f（x）=\frac{{a（{x^2}+5x+5）}}{e^x}$．
因?yàn)閒（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-3，0），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-3），（0，+∞），
所以f（0）=5a為函數(shù)f（x）的極大值，$f（-3）=\frac{-a}{{{e^{-3}}}}=-a{e^3}$為極小值，
$\begin{array}{l}∵a＞0∴當(dāng)x＜\frac{{-5-\sqrt{5}}}{2}或x＞\frac{{-5+\sqrt{5}}}{2}時(shí)f（x）＞0\\ 當(dāng)\frac{{-5-\sqrt{5}}}{2}＜x＜\frac{{-5+\sqrt{5}}}{2}時(shí)f（x）＜0\end{array}$
根據(jù)以上分析做出f（x）的草圖為：

故方程f（x）=m有三個(gè)不同的解時(shí)0＜m＜5a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．