19．已知函數f（x）=1−|x|1+|x|+a•1+|x|1−|x|（a∈R）．
（Ⅰ）當a=-1時，判斷f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調性，并說明理由；
（Ⅱ）若a＞0時，對于區(qū)間[−12，12]上任意取的三個實數m，n，p，都存在以f（m），f（n），f（p）為邊長的三角形，試求實數a的取值范圍．
分析 （Ⅰ）把a=-1代入可得f（x）=1−|x|1+|x|−1+|x|1−|x|，易得偶函數，討論0≤x＜1時的單調性，綜合可得；
（Ⅱ）令t=1−|x|1+|x|，由−12≤x≤12得t=2|x|+1−1∈[13，1]，問題轉化為2ymin＞ymax，分類討論可得．
解答 解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=1−|x|1+|x|−1+|x|1−|x|
可得f（-x）=f（x），即f（x）為偶函數，
只討論0≤x＜1時的單調情況即可，
令t=1−|x|1+|x|（0＜t≤1），去絕對值可得t=1−x1+x=2x+1−1，
易得t在x∈[0，1）上單調遞減，y=t−1t在t∈（0，1]上單調遞增，
∴函數f（x）在[0，1）上單調遞減，∵函數f（x）為偶函數，
∴f（x）在（-1，0]上單調遞增；
（Ⅱ）令t=1−|x|1+|x|，由−12≤x≤12得t=2|x|+1−1∈[13，1]，
∴y=t+at（13≤t≤1），由題意可得在區(qū)間[13，1]上，恒有2ymin＞ymax，
①當0＜a≤19時，y=t+at在[13，1]上單調遞增，ymax=a+1，ymin=3a+13，
由2ymin＞ymax，得a＞115，從而115＜a≤19；
②當19＜a≤13時，y=t+at在[13，√a]上單調遞減，在[√a，1]上單調遞增，
∴ymin=2√a，ymax=max{3a+13，a+1}=a+1，
由2ymin＞ymax得7−4√3＜a＜7+4√3，從而19＜a≤13；
③當13＜a＜1時，y=t+at在[13，√a]上單調遞減，在[√a，1]上單調遞增，
∴ymin=2√a，ymax=max{3a+13，a+1}=3a+13，
由2ymin＞ymax得7−4√39＜a＜7+4√39，從而13＜a＜1；
④當a≥1時，y=t+at在[13，1]上單調遞減，ymin=a+1，ymax=3a+13
由2ymin＞ymax得a＜53，從而1≤a＜53；
綜上可得115＜a＜53
點評 本題考查函數的單調性和奇偶性，涉及分類討論研究函數的最值，屬中檔題．
