Question

8．如圖，在三棱臺DEF-ABC中，已知底面ABC是以AB為斜邊的直角三角形，F(xiàn)C⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點．
（1）求證：平面ABED∥平面GHF；
（2）若BC=CF=$\frac{1}{2}$AB=1，求棱錐F-ABHG的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明平面ABED∥平面GHF；
（2）利用S_梯形ABHG=S_△ABC-S_△GHC，求出S_梯形ABHG，利用體積公式，即可求棱錐F-ABHG的體積．

解答 （1）證明：∵在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，
∴BC=2EF，AC=2DF，
∵G，H分別為AC，BC的中點，
∴GH∥AB，EF∥BH，EF=BH，
∴四邊形BJFE是平行四邊形，
∴BE∥FH，
∴GH∥平面ABED，F(xiàn)H∥平面ABED，
∵GH∩FH=H，
∴平面ABED∥平面GHF；
（2）解：設棱錐F-ABHG的體積為V，
∵BC=CF=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴S_梯形ABHG=S_△ABC-S_△GHC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{8}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及棱錐F-ABHG的體積的求解，正確運用平面與平面平行的判定定理是關鍵．