Question

18．棱長為1的正四面體ABCD中，E為棱AB上一點（不含A，B兩點），點E到平面ACD和平面BCD的距離分別為a，b，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)點O是正三角形ACD的中心，連接OB，作EF⊥AO，垂足為點F．AO交CD于點M，則點M為CD的中點．設(shè)AE=λAB（0＜λ＜1）．$AO=\frac{2}{3}$AM，AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$．由EF∥BO，可得EF=λBO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$λ=a．同理可得：b=EN=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（1-λ）．代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)點O是正三角形ACD的中心，連接OB，作EF⊥AO，垂足為點F．AO交CD于點M，則點M為CD的中點．
設(shè)AE=λAB（0＜λ＜1）．
$AO=\frac{2}{3}$AM=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵EF∥BO，
∴EF=λBO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$λ=a．
同理可得：b=EN=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（1-λ）．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{3}{\sqrt{6}}$$（\frac{1}{λ}+\frac{1}{1-λ}）$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{1}{λ（1-λ）}$≥$\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{1}{（\frac{λ+1-λ}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時取等號．
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了正四面體的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)定理、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了空間想象能力與計算能力，屬于中檔題．