Question

8．根據a的不同取值，求f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+ax+1}$（a∈R）的值域．

Answer 1

分析 令t=x²+ax+1=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，分類討論結合反比例函數的值域可得．

解答 解：令t=x²+ax+1=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當1-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞0即-2＜a＜2時，t≥1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，此時函數的值域為（0，$\frac{4}{4-{a}^{2}}$]；
當1-$\frac{{a}^{2}}{4}$≤0即a≤-2或a≥2時，t≥1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，此時函數的值域為（-∞，$\frac{4}{4-{a}^{2}}$]∪（0，+∞）．

點評 本題考查分式函數的值域，換元整體利用反比例函數的值域是解決問題的關鍵，屬基礎題．