Question

13．甲、乙兩人射擊，甲射擊一次中靶的概率是p₁，乙射擊一次中靶的概率是p₂，且$\frac{1}{{p}_{1}}$，$\frac{1}{{p}_{2}}$是方程x²-5x+6=0的兩個實(shí)根，已知甲射擊5次，中靶次數(shù)的方差是$\frac{5}{4}$．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）若兩人各射擊2次，至少中靶3次就算完成目的，則完成目的概率是多少？
（3）若兩人各射擊1次，至少中靶1次就算完成目的，則完成目的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）甲射擊5次，中靶次數(shù)k服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式Dξ_甲=5p₁ （1-p₁），即可求得p₁，根據(jù)韋達(dá)定理得$\frac{1}{{p}_{1}}•\frac{1}{{p}_{2}}$=6，可求得p₂的值；
（2）兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目的，分兩種情況討論，共擊中3次的概率，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)事件A恰好發(fā)生k的概率公式，代入即可求得結(jié)果；同理可求出擊中4次的概率，這兩種情況互斥，根據(jù)概率的加法公式即可求得結(jié)果；
（3）兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的，該事件的對立事件為“兩人各射擊一次，沒有中靶”，利用對立事件的概率公式即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）由題意可知 ξ_甲～B（5，p₁），
∴Dξ_甲=5p₁ （1-p₁）=$\frac{5}{4}$，
∴p₁²-p₁+$\frac{1}{4}$=0，
解得p₁=$\frac{1}{2}$；
又$\frac{1}{{p}_{1}}$，$\frac{1}{{p}_{2}}$是方程x²-5x+6=0的兩個實(shí)根，
∴$\frac{1}{{p}_{1}}•\frac{1}{{p}_{2}}$=6，
解得p₂=$\frac{1}{3}$．   
（2）兩人各射擊2次，至少中靶3次就算完成目的，則完成目的兩類情況：
①共擊中3次概率C₂²（ $\frac{1}{2}$） ² （1-$\frac{1}{2}$）×C₂¹（$\frac{1}{3}$） ¹ （1-$\frac{1}{3}$） ¹+C₂¹（$\frac{1}{2}$） ¹ （$\frac{1}{2}$） ¹×C₂²（$\frac{1}{3}$） ²（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{6}$；
共擊中4次概率C₂²（$\frac{1}{2}$） ² （$\frac{1}{2}$）×C₂²（$\frac{1}{3}$） ² （$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{36}$． 
∴所求概率為$\frac{1}{6}+\frac{1}{36}$=$\frac{7}{36}$．  
（3）設(shè)事件A，B分別表示甲、乙能擊中．
∵A，B互相獨(dú)立，
∴P（$\overline{A}$•$\overline{B}$ ）=P（$\overline{A}$） P（$\overline{B}$）=（1-P（A） ）（1-P（B） ）=（1-p₁）（1-p₂）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
∴“兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的”的概率為：1-P（$\overline{A}$•$\overline{B}$）=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 這一類型的試題在連續(xù)幾年的高考卷都出現(xiàn)了，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了《考試說明》所要求的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．該題仍然是常規(guī)題，要求考生耐心細(xì)致，審題能力較強(qiáng)，并善于利用材料進(jìn)行分析說明，屬中檔題．