Question

7．如圖，ABC-A₁B₁C₁是底面邊長為2，高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的正三棱柱，經(jīng)過AB的截面與上
底面相交于PQ，設(shè)C₁P=λC₁A₁（0＜λ＜1）．
（1）證明：PQ∥A₁B₁；
（2）當(dāng)CF⊥平面ABQP時，在圖中作出點C在平面ABQP內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四棱錐CABPQ表面積．

Answer 1

分析 （I）推導(dǎo)出AB∥PQ，AB∥A₁B₁，由此能證明PQ∥A₁B₁．   
（Ⅱ）當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時，P，Q分別是A₁C₁，A₁B₁的中點，推導(dǎo)出CF⊥QP，取AB中點H，連$FH，CH，CH=\sqrt{3}$，$FH=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，連接CF，則$CF=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，CF⊥FH，從而CF⊥平面ABQP，由此能求出四棱錐CABPQ表面積．

解答 證明：（I）∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，平面ABC∩平面ABQP=AB，
平面ABQP∩平面A₁B₁C₁=QP，
∴AB∥PQ，又∵AB∥A₁B₁，∴PQ∥A₁B₁．   （5分）
解：（Ⅱ）F點是PQ中點，理由如下：
當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時，P，Q分別是A₁C₁，A₁B₁的中點，
連接CQ和CP，∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴CQ=CP，∴CF⊥QP，（6分）
取AB中點H，連接$FH，CH，CH=\sqrt{3}$，
在等腰梯形ABQP中，$FH=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
連接CF，則$CF=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴CF²+FH²=CH²，∴CF⊥FH，
∵QP∩FH=H，∴CF⊥平面ABF，即CF⊥平面ABQP，（9分）
∴F點是C在平面ABQP內(nèi)的正投影．
∴四棱錐CABPQ表面積：
$S={S_{△CPQ}}+{S_{△CPA}}+{S_{△CQB}}+{S_{PQBA}}+{S_{△ABC}}=2\sqrt{3}+\sqrt{6}$．（12分）

點評 本題考查線線平行的證明，考查四棱錐的表面積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．