Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在（1，11）處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（Ⅲ）求函數(shù)在[-2，2]上的最值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f'（x）=-3x²+6x+9，
所以切線的斜率為f'（1）=-3+6+9=12
所以切線方程y-11=12（x-1），
即12x-y-1=0．
（Ⅱ）令f'（x）=-3x²+6x+9＞0，
得-1＜x＜3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，3）；
令f'（x）=-3x²+6x+9＜0，
得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅲ）因為在（-2，-1）上，f'（x）＜0，在（-1，2）上，f'（x）＞0，
所以f（x）在（-2，-1）單調(diào)遞減，
在（-1，2）上單調(diào)遞增．
所以x=-1時，[f（x）]_min=f（-1）=-5．
當(dāng)x=2時，[f（x）]_max=22．
分析：（Ⅰ）因為f'（x）=-3x²+6x+9，所以切線的斜率為f'（1）=12，由此能求出切線方程．
（Ⅱ）令f'（x）=-3x²+6x+9＞0，得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；令f'（x）=-3x²+6x+9＜0，得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅲ）因為在（-2，-1）上f'（x）＜0，在（-1，2）上f'（x）＞0，所以f（x）在（-2，-1）單調(diào)遞減，在（-1，2）上單調(diào)遞增．由此能求出函數(shù)在[-2，2]上的最值．
點評：本題考查函數(shù)的切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．