Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)到一個(gè)短軸頂點(diǎn)距離為

6

，焦距為4，若點(diǎn)A（3，0），問(wèn)：過(guò)該點(diǎn)是否存在一條直線(xiàn)L，使得直線(xiàn)L與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=0．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由于橢圓的焦點(diǎn)到一個(gè)短軸頂點(diǎn)距離為

6

，焦距為4，即有a=

6

，c=2，則b=

2

，求得橢圓方程，再假設(shè)存在過(guò)A的一條直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=0．設(shè)直線(xiàn)l：y=k（x-3），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，再由判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的垂直的條件：數(shù)量積為0，得到k的方程，解出，注意檢驗(yàn)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：由于橢圓的焦點(diǎn)到一個(gè)短軸頂點(diǎn)距離為

6

，焦距為4，
則

c2+b2

=

6

，即有a=

6

，c=2，則b=

2

，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

6

+

y2

2

=1．
假設(shè)存在過(guò)A的一條直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=0．
設(shè)直線(xiàn)l：y=k（x-3），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得，（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則判別式△=（18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）＞0，①
x₁+x₂=

18k2

1+3k2

，x₁x₂=

27k2-6

1+3k2

，
由于y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²x₁x₂-3k²（x₁+x₂）+9k²，

OP

•

OQ

=0即有x₁x₂+y₁y₂=0，
則有（1+k²）x₁x₂-3k²（x₁+x₂）+9k²=0，
則有（1+k²）•

27k2-6

1+3k2

-3k²•

18k2

1+3k2

+9k²=0，
解得，k²=

1

5

，代入①，檢驗(yàn)△＞0成立．
則k=±

5

5

，
故存在過(guò)A的一條直線(xiàn)l：y=±

5

5

（x-1），
使得直線(xiàn)l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算、不等式的解法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．