Question

20．已知函數$f（x）=4cos（\frac{2π}{3}-ωx）sinωx-\sqrt{3}$（ω＞0，x∈R），且f（x）在y軸右側的第一個最低點的橫坐標為$\frac{π}{12}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調減區(qū)間；
（Ⅱ）若α∈[0，π]，且f（α）=-1，求α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（2ωx-$\frac{2π}{3}$），再結合正弦函數最小值的結論，解關于ω的方程，即可得ω的值，由此求得函數解析式，根據正弦函數圖象求單調減區(qū)間即可；
（Ⅱ）根據α的取值范圍和已知條件f（α）=-1得到$2α-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，由此求得a的值．

解答 解（Ⅰ）$f（x）=4cos（\frac{2π}{3}-ωx）sinωx-\sqrt{3}$=$4（-\frac{1}{2}cosωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx）sinωx-\sqrt{3}$=$-2sinωxcosωx+2\sqrt{3}{sin^2}ωx-\sqrt{3}=-sin2ωx-\sqrt{3}cos2ωx=2sin（2ωx-\frac{2π}{3}）$．
∵f（x）在y軸右側的第一個最低點的橫坐標為$\frac{π}{12}$，
∴$2ω×\frac{π}{12}-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{2}$，得ω=1
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{2π}{3}）$，當$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{2π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
即x∈$[kπ+\frac{7π}{12}，kπ+\frac{13π}{12}]，k∈Z$時單調遞減；
（Ⅱ）α∈[0，π]可得$2α-\frac{2π}{3}∈[-\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，因為$f（α）=-\frac{1}{2}$，所以$2α-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，
所以$α=\frac{π}{4}$或$\frac{11π}{12}$．

點評 本題給出三角函數式，求函數的單調區(qū)間，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．