Question

12．已知函數(shù)f（x）=4^x，點(diǎn)（a_n，b_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之積，且S_n=2^n（n+1）
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}•{{log}_4}{b_n}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由b₁=S₁；n＞1時(shí)，b_n=$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；再由點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得c_n=$\frac{1}{（n+1）•lo{g}_{4}{4}^{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（1）點(diǎn)（a_n，b_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
可得b_n=4^a_n，
由S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之積，
可得S_n=b₁b₂…b_n=2^n（n+1），
即有b₁=S₁=4；
n＞1時(shí)，b_n=$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n（n+1）}}{{2}^{n（n-1）}}$=2²ⁿ=4ⁿ．
上式對(duì)n=1也成立，
故數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=4ⁿ；
即有b_n=4ⁿ=4^a_n，
可得a_n=n；
（2）c_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}•{{log}_4}{b_n}}}$=$\frac{1}{（n+1）•lo{g}_{4}{4}^{n}}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用結(jié)論：n=1時(shí)，b₁=S₁；n＞1時(shí)，b_n=$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．