Question

18．設向量$\overrightarrow{OA}=（x+2，{x^2}-\sqrt{3}cos2α）$，$\overrightarrow{OB}=（y，\frac{y}{2}+sinαcosα）$，其中x，y，α為實數，若$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$，則$\frac{x}{y}$的取值范圍為（　�。�

• A． [-6，1]
• B． [-1，6]
• C． [4，8]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 根據向量的數量關系列出方程組，得出x，y的關系，根據三角函數的范圍得出y的范圍，從而得出$\frac{x}{y}$的范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2=2y}\\{{x}^{2}-\sqrt{3}cos2α=y+2sinαcosα}\end{array}\right.$，
由x+2=2y得x=2y-2，
由x²-$\sqrt{3}$cos2α=y+2sinαcosα得：x²-y=$\sqrt{3}$cos2α+sin2α=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）．
∴4y²-9y+4=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）．
∴-2≤4y²-9y+4≤2，解得$\frac{1}{4}≤y≤2$．
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{2y-2}{y}=2-\frac{2}{y}$．
∴當y=$\frac{1}{4}$時，$\frac{x}{y}$取得最小值-6，當y=2時，$\frac{x}{y}$取得最大值1．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量數乘運算的意義，三角函數的恒等變換，二次不等式的解法，屬于中檔題．