Question

5．在平面直角坐標系xOy中，已知點P在曲線Γ：y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$（x≥0）上，曲線Γ與x軸相交于點B，與y軸相交于點C，點D（2，1）和點E（1，0）滿足$\overrightarrow{OD}$=λ$\overrightarrow{CE}$+μ$\overrightarrow{OP}$（λ，μ∈R），則λ+μ的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設P（2cosα，sinα），求出各點坐標，用α表示出λ，μ，得出λ+μ關于α的函數(shù)，利用導數(shù)求出此函數(shù)的最小值即可．

解答 解：由y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$（x≥0）可知$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
∴B（2，0），C（0，1），
設P（2cosα，sinα），α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則$\overrightarrow{CE}$=（1，-1），$\overrightarrow{OP}$=（2cosα，sinα），$\overrightarrow{OD}$=（2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+2μcosα=2}\\{-λ+μsinα=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2sinα-2cosα}{2cosα+sinα}}\\{μ=\frac{3}{2cosα+sinα}}\end{array}\right.$，
∴λ+μ═$\frac{2sinα-2cosα+3}{2cosα+sinα}$，
令f（α）=$\frac{2sinα-2cosα+3}{2cosα+sinα}$，則f′（α）=$\frac{6-3cosα+6sinα}{（2cosα+sinα）^{2}}$＞0，
∴f（α）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，
∴當α=0時，f（α）取得最小值f（0）=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．