【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的最大值，則不等式獲證；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，分別求得函數(shù)在上的最大值，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最大值小于或等于0，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

設(shè)，

則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得最大值，

所以，

所以.

（2）因?yàn)?/span>，所以.

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，所以滿(mǎn)足題意.

②當(dāng)時(shí)，令，則，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得最大值.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，所以滿(mǎn)足題意.

綜上所述，的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，在底面ABC上的射影為△ABC的重心G.

（1）已知，證明：平面平面；

（2）已知平面與平面ABC所成的二面角為60°，G到直線(xiàn)AB的距離為a，求銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的四條直線(xiàn)圍成的矩形（是第一象限內(nèi)的點(diǎn)）的面積為，且過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的傾斜角為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若射線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)分別為．當(dāng)它們的斜率之積為時(shí)，試問(wèn)的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中國(guó)剪紙是我國(guó)廣大勞動(dòng)人民在生產(chǎn)與生活實(shí)踐中創(chuàng)造出來(lái)的一種平面剪刻藝術(shù)．民間剪紙藝術(shù)是我國(guó)優(yōu)秀的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，在千百年的發(fā)展過(guò)程中，積淀了豐厚的文化歷史，取得了卓越的藝術(shù)成就．2020年3月發(fā)行的郵票《中國(guó)剪紙（二）》共4枚，第一枚郵票《三娘教子》（如圖1）出自“孟母教子”的故事，講述了母親通過(guò)斷織等行為教育孩子努力上進(jìn)，懂得感恩．圖2是某剪紙藝術(shù)家根據(jù)第一枚郵票用一張半徑為4個(gè)單位的圓形紙片裁剪而成的《三娘教子》剪紙．為了測(cè)算圖2中有關(guān)部分的面積，在圓形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入圖案上的點(diǎn)有225個(gè)，據(jù)此可估計(jì)剪去部分紙片的面積為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)的圖像與的圖像交于不同的兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解運(yùn)動(dòng)健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了20名肥胖者，測(cè)量了他們的體重（單位：千克）．健身之前他們的體重情況如三維餅圖（1）所示，經(jīng)過(guò)半年的健身后，他們的體重情況如三維餅圖（2）所示，對(duì)比健身前后，關(guān)于這20名肥胖者，下面結(jié)論正確的是（ ）

A.他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)不變

B.他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)減少了2個(gè)

C.他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減輕

D.他們健身后，這20位肥胖著的體重的中位數(shù)位于區(qū)間

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與OM垂直，垂足為P.

（1）當(dāng)時(shí)，求在直角坐標(biāo)系下點(diǎn)坐標(biāo)和l的方程；

（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線(xiàn)段OM上時(shí)，求點(diǎn)P在極坐標(biāo)系下的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．

（1）若數(shù)列為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案