Question

【題目】如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，在底面ABC上的射影為△ABC的重心G.

（1）已知，證明：平面平面；

（2）已知平面與平面ABC所成的二面角為60°，G到直線AB的距離為a，求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接并延長交于，易知平面，進而可證明平面，可得，再由四邊形是菱形，可得，從而可證明平面，進而可證明平面平面；

（2）連接，易知，進而可得，結合平面與平面所成的二面角的平面角為，由，可得，，，從而以為原點，，分別作為軸、軸，過點作平行與的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面、平面的法向量、，由，進而可求出銳二面角的余弦值.

（1）證明：連接并延長交于，由已知得平面，

由平面，可得，

又，，平面，平面，所以平面，

由平面，可得，

因為四邊形是平行四邊形，且，所以四邊形是菱形，所以，

又因為，且平面，平面，所以平面，

因為平面，所以平面平面.

（2）連接，因為在底面上的射影是的重心，

所以與全等，

所以，因為，所以點為中點，所以，

故平面與平面所成的二面角的平面角為，

由，得，，，

故以為原點，直線分別作為軸、軸，過點作平行與的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，，，

設為平面的一個法向量，

則，可取，

設平面的一個法向量為，

則，可取，

所以，

故銳二面角的余弦值為.