Question

21.已知函數f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時f（x）取得極值－2.

（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間和極大值；

（Ⅱ）證明對任意x₁，x₂∈（－1,1），不等式|f（x₁）－f（x₂）|＜4恒成立.

Answer 1

21. 本小題主要考查函數的單調性及奇偶性，考查運用導數研究函數單調性及極值等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：由奇函數的定義，應有f（－x）=－f（x）,x∈R.

即　　　�。�ax³－cx+d=－ax³－cx－d,∴d=0.

因此,　　　f（x）=ax³+cx,

f′（x）=3ax²+c.

由條件f（1）=－2為f（x）的極值，必有f′（1）=0，故

解得a=1,c=－3.

因此,  　　f（x）=x³－3x,

f′（x）=3x²－3=3（x+1）（x－1）,

f′（－1）=f′（1）=0.

當x∈（－∞,－1）時，f′（x）＞0，故f（x）在單調區(qū)間（－∞,－1）上是增函數.

當x∈（－1,1）時，f′（x）＜0,故f（x）在單調區(qū)間（－1，1）上是減函數.

當x∈（1,+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在單調區(qū)間（1，+∞）上是增函數.

所以,f（x）在x=－1處取得極大值，極大值為f（－1）=2.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）=x³－3x（x∈［－1,1］）是減函數，且

f（x）在［－1，1］上的最大值M=f（－1）=2,

f（x）在［－1，1］上的最小值m=f（1）=－2.

所以，對任意的x₁,x₂∈（－1,1），恒有

|f（x₁）－f（x₂）|<M－m=2－（－2）=4.