Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為$2\sqrt{3}$，且右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形．若直線l與橢圓C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且在橢圓C上存在點M，使得：$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$（其中O為坐標原點），則稱直線l具有性質H．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l垂直于x軸，且具有性質H，求直線l的方程；
（3）求證：在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R，使得直線PQ、QR、RP都具有性質H．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦距為$2\sqrt{3}$，右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線l：x=t，（-2＜t＜2），則A（t，y₁），B（t，y₂），設M（x_m，y_m），求出${x}_{m}=\frac{7}{5}t$，${y}_{m}=\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}$=-$\frac{1}{5}{y}_{1}$，由點M在橢圓C上，能求出直線l的方程．
（3）假設在橢圓C上存在三個不同的點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x₃，y₃），使得直線PQ、QR、RP都具有性質H，利用反證法推導出相互矛盾結論，從而能證明在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R，使得直線PQ、QR、RP都具有性質H．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為$2\sqrt{3}$，∴c=$\sqrt{3}$，
∵右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形，∴c=$\sqrt{3}b$，解得b=1，
∴a²=b²+c²=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設直線l：x=t，（-2＜t＜2），則A（t，y₁），B（t，y₂），
其中y₁，y₂滿足：${y}^{2}=1-\frac{{t}^{2}}{4}$，y₁+y₂=0，
設M（x_m，y_m），
∵$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$（其中O為坐標原點），
∴${x}_{m}=\frac{7}{5}t$，${y}_{m}=\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}$=-$\frac{1}{5}{y}_{1}$，
∵點M在橢圓C上，∴$\frac{49{t}^{2}}{100}+（-\frac{1}{5}{y}_{1}）^{2}=1$，
∴49t²+4-t²=100，∴t=$±\sqrt{2}$，
∴直線l的方程為x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$．
證明：（3）假設在橢圓C上存在三個不同的點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x₃，y₃），
使得直線PQ、QR、RP都具有性質H，
∵直線PQ具有性質H，∴在橢圓C上存在點M，使得：$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，
設M（x_m，y_m），則${x}_{m}=\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{x}_{2}$，y_m=$\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}$，
∵點M在橢圓上，∴$\frac{（\frac{3}{5}{x}_{1}+\frac{4}{5}{x}_{2}）^{2}}{4}$+（$\frac{3}{5}{y}_{1}+\frac{4}{5}{y}_{2}$）²=1，
又∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}=1$，∴$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}$=0，①
同理：$\frac{{x}_{2}{x}_{3}}{4}+{y}_{2}{y}_{3}$=0，②，$\frac{{x}_{3}{x}_{1}}{4}+{y}_{3}{y}_{1}=0$，③
1）若x₁，x₂，x₃中至少一個為0，不妨設x₁=0，則y₁≠0，
由①③得y₂=y₃=0，即Q，R為長軸的兩個端點，則②不成立，矛盾．
2）若x₁，x₂，x₃均不為0，則由①②③得$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}{{x}_{3}}^{2}}{64}$=-${{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}{{y}_{3}}^{2}$＞0，矛盾．
∵在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R，使得直線PQ、QR、RP都具有性質H．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R，使得直線PQ、QR、RP都具有性質H的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質和反證法的合理運用．