Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²
（1）記m（x）=f′（x），若m′（1）=3，求實數(shù)a的值；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）-ax²+ax，若g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出m（x），計算m′（1），從而求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）m（x）=$\frac{1}{x}$+2ax，m′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a，
則m′（1）=-1+2a=3，解得：a=2；
（2）g（x）=lnx+ax²-ax²+ax=lnx+ax，
g′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
若g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則g′（x）≥0在（0，+∞）成立，
則a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）成立，
故a≥0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．