Question

16．已知：橢圓C過點A（1，$\frac{3}{2}$），兩個焦點為（-1，0），（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE和AF關(guān)于x=1對稱，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）直線AE和AF關(guān)于x=1對稱，可得直線AE和AF的斜率互為相反數(shù)．設(shè)直線AE的斜率為k，則AF的斜率為-k，直線AE，AF的方程分別為：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），分別與橢圓方程聯(lián)立，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，即可證明．

解答 （1）解：由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得c=1，a=2，b²=3．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）證明：∵直線AE和AF關(guān)于x=1對稱，∴直線AE和AF的斜率互為相反數(shù)．
設(shè)直線AE的斜率為k，則AF的斜率為-k，
直線AE，AF的方程分別為：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4k²-12k-3=0，
∴1×x_E=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，解得x_E=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_E=$\frac{-4{k}^{2}-6k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$．
同理可得：x_F=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_F=$\frac{-4{k}^{2}+12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$．
∴k_EF=$\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{-9k}{-24k}$=$\frac{3}{8}$為定值．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．