Question

5．已知A、B、C是半徑為1的球面上三個定點，且AB=AC=BC=1，高為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$的三棱錐P-ABC的頂點P位于同一球面上，則動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積是（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$π
• B． $\frac{1}{3}$π
• C． $\frac{1}{2}$π
• D． $\frac{5}{6}$π

Answer 1

分析 求出球心到平面ABC的距離，利用三棱錐P-ABC的高為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，可得球心到動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的距離，即可求出圓的半徑，從而可得動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積．

解答 解：∵AB=AC=BC=1，
∴△ABC的外接圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵球的半徑為1，
∴球心到平面ABC的距離為$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵三棱錐P-ABC的高為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴球心到動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的圓的半徑為$\sqrt{1-\frac{1}{6}}$=$\sqrt{\frac{5}{6}}$，
∴動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積是$π•\frac{5}{6}$=$\frac{5}{6}π$．
故選：D．

點評 本題考查動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積，考查學(xué)生的計算能力，正確求出動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的圓的半徑是關(guān)鍵．