Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-a{x^2}+1$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）方程f（x）=0有三個不同的解，求a的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，求出極值點，利用電話的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用函數(shù)的極值，列出不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-a{x^2}+1$．
$f'（x）=\frac{3}{2}{x^2}-a$，
令f'（x）=0，得$\frac{3}{2}{x^2}-a=0$，${x^2}=\frac{2}{3}a$，
①當a＞0時，$x=-\sqrt{\frac{2a}{3}}$或$x=\sqrt{\frac{2a}{3}}$．

x	$（-∞，-\sqrt{\frac{2a}{3}}）$	$-\sqrt{\frac{2a}{3}}$	$（-\sqrt{\frac{2a}{3}}，\sqrt{\frac{2a}{3}}）$	$\sqrt{\frac{2a}{3}}$	$（\sqrt{\frac{2a}{3}}，+∞）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

當$x∈（-∞，-\sqrt{\frac{2a}{3}}]$及$x∈[\sqrt{\frac{2a}{3}}，+∞）$時，f（x）單調(diào)遞增；
當$x∈[-\sqrt{\frac{2a}{3}}，\sqrt{\frac{2a}{3}}]$時，f（x）單調(diào)遞減．
②當a≤0時，有f'（x）≥0，
此時，當x∈（-∞，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由題意知，當a＞0時f（x）示意圖如下
：
即$\left\{{\begin{array}{l}{f（-\sqrt{\frac{2a}{3}}）＞0}\\{f（\sqrt{\frac{2a}{3}}）＜0}\end{array}}\right.$，
于是$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{（-\sqrt{\frac{2a}{3}}）}^3}-a（-\sqrt{\frac{2a}{3}}）+1＞0}\\{\frac{1}{2}{{（\sqrt{\frac{2a}{3}}）}^3}-a（\sqrt{\frac{2a}{3}}）+1＜0}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，得$a＞\frac{3}{2}$．
故$a∈（\frac{3}{2}，+∞）$．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查分析問題解決問題的能力．