Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+x-1．
（Ⅰ）若y=-2x+b為f（x）的一條切線，求b值．
（Ⅱ）若f（t）＜-2t+m對(duì)t∈（0，2）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)y=-2x+b為f（x）的一條切線，利用斜率，求解b值．
（Ⅱ）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，列表推出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化求解實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=-x³+x-1，f′（x）=-3x²+1，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）．故-3x₀²+1=-2，∴x₀=±1所以切點(diǎn)為（1，-1），（-1，-1），
代入y=-2x+b，得b=1或-3．…（4分）
（Ⅱ）令g（t）=f（t）-（-2t+m）=-t³+3t-1-m，
由g′（t）=-3t²+3=0得t=1，t=-1（不合題意，舍去）．
當(dāng)t變化時(shí)g′（t），g（t）的變化情況如下表：

t	（0，1）	1	（1，2）
g′（t）	+	0	-
g（t）	遞增	極大值1-m	遞減

∴g（t）在（0，2）內(nèi)有最大值g（1）=1-m．
f（t）＜-2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價(jià)于g（t）＜0在（0，2）內(nèi)恒成立，
即等價(jià)于1-m＜0，
所以m的取值范圍為m＞1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．