Question

19．利用數(shù)學(xué)歸納法證明：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，右邊=$\frac{1}{2}$，命題成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$=$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$，
上式表明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
由（1）（2）知，命題對(duì)一切正整數(shù)均成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．