Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E、F分別為AD₁、BD的中點．
（1）求證：EF∥平面B₁D₁C；
（2）求直線AD₁與直線B₁C所成的角，
（3）求二面角B₁-D₁C-A的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明EF∥平面B₁D₁C，利用線面平行的判定定理，只需證明EF∥D₁C；
（2）連接BC₁，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴BC₁∥AD₁，∴AD₁與直線B₁C所成的角即BC₁與直線B₁C所成的角；
（3）取D₁C的中點M，連接AM，B₁M，B₁A，證明∠AMB₁為二面角B₁-D₁C-A的平面角，計算用余弦定理，即可求得二面角B₁-D₁C-A的大�。�

解答： （1）證明：連接AC，在△AD₁C中，
∵F為BD的中點，∴F為AC的中點
∵E為AD₁的中點，
∴EF∥D₁C
∵EF?平面B₁D₁C，D₁C?平面B₁D₁C
∴EF∥平面B₁D₁C；
（2）解：連接BC₁，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴BC₁∥AD₁，∴AD₁與直線B₁C所成的角即BC₁與直線B₁C所成的角，
∵正方形BCC₁B₁，∴BC₁⊥B₁C，∴直線AD₁與直線B₁C所成的角為90°．
（3）解：取D₁C的中點M，連接AM，B₁M，B₁A
∵△AD₁C為正三角形，M為CD₁的中點
∴AM⊥D₁C
同理，在正三角形B₁D₁C，B₁M⊥D₁C
∴∠AMB₁為二面角B₁-D₁C-A的平面角
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1
∴AM=

6

2

，B1M=

6

2

，B₁A=

2

，
∴cos∠AMB₁=

1

3

．

點評：本題考查線面平行，異面直線所成的角，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理，正確作出異面直線所成的角，面面角，屬于中檔題．