Question

18．已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，f（x+2）≥0的解集為[-2，2]．
（1）求m的值；
（2）若?x∈R，f（x）≥-|2x-1|-t²+$\frac{3}{2}$t恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意將x+2帶入，可得f（x+2）≥0等價(jià)于|x|≤m的解集為[-2，2]．從而求出m的值．
（2）將函數(shù)變形，分離參數(shù)，分段函數(shù)去絕對(duì)值，從而求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x+2）=m-|x|，所以f（x+2）≥0等價(jià)于|x|≤m，
由|x|≤m有解，那么：m≥0，
其解集為{x|-m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集為[-2，2]，
故m=2．
（2）?x∈R，f（x）≥-|2x-1|-t²+$\frac{3}{2}$t恒成立
那么：$f（x）≥-|{2x-1}|-{t^2}+\frac{3}{2}t$等價(jià)于不等式$|{2x-1}|-|{x-2}|≥-{t^2}+\frac{3}{2}t-2$，
記g（x）=|2x-1|-|x-2|，則$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-x-1，x≤\frac{1}{2}\\ 3x-3，\frac{1}{2}＜x＜2\\ x+1，x≥2\end{array}\right.$
∵$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{2}）=-\frac{3}{2}$，
則有$-\frac{3}{2}≥-{t^2}+\frac{3}{2}t-2$，即2t²-3t+1≥0，
解得：$t≤\frac{1}{2}$或t≥1
故實(shí)數(shù)的取值范圍$（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式與方程的關(guān)系，以及分段函數(shù)的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解不等式．屬于中檔題．