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10.在△ABC中,角A,B,C所對邊分別為a,b,c,sinAsinB+sinC=1-abac
(1)若b=3,求△ABC周長的取值范圍;
(2)設(shè)m=(sinA,1),n=(6cosB,cos2A),求mn的取值范圍.

分析 (1)由sinAsinB+sinC=1-abac,利用正弦定理可得ab+c=1-abac,化簡再利用余弦定理可得cosA=12,A∈(0,π),A=\frac{π}{3}.由正弦定理可得△ABC周長=a+\sqrt{3}+c=\frac{3(1+cosB)}{sinB}+2\sqrt{3},令f(B)=\frac{1+cosB}{sinB},則f(B)=\frac{cosB-(-1)}{sinB-0}表示點(0,-1)與點(sinB,cosB)連線的斜率,B∈(0,\frac{2π}{3}),可得f(B)>\frac{\sqrt{3}}{3}.即可得出.
(2)由(1)可得:A=\frac{π}{3}.利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得:\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}=6sinAcosB+cos2A=3\sqrt{3}cosB-\frac{1}{2}.由于B∈(0,\frac{2π}{3}),可得cosB∈(-\frac{1}{2},1).即可得出.

解答 解:(1)∵\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c},∴\frac{a}{b+c}=1-\frac{a-b}{a-c},化為:a2+c2-b2=ac,
∴cosA=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2},A∈(0,π),
A=\frac{π}{3}
由正弦定理可得:\frac{a}{sin\frac{π}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{sinB}=\frac{c}{sinC},
∴a=\frac{3}{2sinB},c=\frac{\sqrt{3}sinC}{sinB},
∴△ABC周長=a+\sqrt{3}+c=\frac{3}{2sinB}+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}sinC}{sinB}=\frac{3+2\sqrt{3}sin(\frac{2π}{3}-B)}{2sinB}+\sqrt{3}=\frac{3(1+cosB)}{sinB}+2\sqrt{3}
令f(B)=\frac{1+cosB}{sinB},則f(B)=\frac{cosB-(-1)}{sinB-0}表示點(0,-1)與點(sinB,cosB)連線的斜率,B∈(0,\frac{2π}{3}),∴f(B)>\frac{\sqrt{3}}{3}
∴△ABC周長的取值范圍是(3\sqrt{3},+∞)
(2)由(1)可得:A=\frac{π}{3}
\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}=6sinAcosB+cos2A=6sin\frac{π}{3}cosB+cos\frac{2π}{3}=3\sqrt{3}cosB-\frac{1}{2}
∵B∈(0,\frac{2π}{3}),∴cosB∈(-\frac{1}{2},1)
\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}的取值范圍是(-\frac{3\sqrt{3}+1}{2},3\sqrt{3}-\frac{1}{2})

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差化積、斜率計算公式、三角函數(shù)求值、數(shù)量積運算性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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