Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx
（1）求f（x）的極值
（2）當(dāng)${x_1}，x{\;}_2∈（\frac{1}{e}，1）$且x₁＜1-x₂時(shí)，求證：lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）得到$ln{x_2}+ln{x_1}＜（2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}）ln（{x_1}+{x_2}）$，根據(jù)ln（x₁+x₂）＜0，$2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}≥4$，證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
因?yàn)閒′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，即x=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞），
故當(dāng)$x=\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）取得極小值$-\frac{1}{e}$；
證明：（2）依題意，f（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞f（x₁）=x₁lnx₁，
所以$ln{x_1}＜（1+\frac{x_2}{x_1}）ln（{x_1}+{x_2}）$，同理$ln{x_2}＜（1+\frac{x_1}{x_2}）ln（{x_1}+{x_2}）$，
兩式相加得，$ln{x_2}+ln{x_1}＜（2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}）ln（{x_1}+{x_2}）$，
因?yàn)?＜x₁+x₂＜1，所以ln（x₁+x₂）＜0，
而$2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}≥4$，故lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，不等式的證明，是一道中檔題．