Question

19．如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求四棱錐S-ABCD的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 取AB的中點E，連結DE，SE，則四邊形BCDE為矩形，推導出SD⊥SA，SD⊥SB，由此能證明SD⊥平面SAB．
（Ⅱ）設四棱錐S-ABCD的高為h，則h也是三棱錐S-ABD的高，由V_S-ABD=V_D-SAB，能求了四棱錐S-ABCD的高．

解答 證明：（Ⅰ） 如圖，取AB的中點E，連結DE，SE，則四邊形BCDE為矩形，
∴DE=CB=2，∴$AD=\sqrt{D{E^2}+A{E^2}}=\sqrt{5}$，
∵側面SAB為等邊三角形，AB=2，
∴SA=SB=AB=2，且$SE=\sqrt{3}$，
又∵SD=1，∴SA²+SD²=AD²，SB²+SD²=BD²，
∴SD⊥SA，SD⊥SB，
∵SA∩SB=S，∴SD⊥平面SAB．
解：（Ⅱ）設四棱錐S-ABCD的高為h，則h也是三棱錐S-ABD的高，
由（Ⅰ）知，SD⊥平面SAB，
由V_S-ABD=V_D-SAB，得$\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•h=\frac{1}{3}{S_{△SAB}}•SD$，
∴$h=\frac{{{S_{△SAB}}•SD}}{{{S_{△ABD}}}}$，
又${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•DE=\frac{1}{2}×2×2=2$，${S_{△SAB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}A{B^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，SD=1，
∴$h=\frac{{{S_{△SAB}}•SD}}{{{S_{△ABD}}}}=\frac{{\sqrt{3}×1}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故四棱錐S-ABCD的高為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的高的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．