13.如圖,在四面體ABCD中,點B1,C1,D1分別在棱AB,AC,AD上,且平面B1C1D1∥平面BCD,A1為△BCD內(nèi)一點,記三棱錐A1-B1C1D1的體積為V,設$\frac{{A{D_1}}}{AD}=x$,對于函數(shù)V=F(x),則下列選項正確的是( 。
A.函數(shù)F(x)在$({\frac{1}{2},1})$上是減函數(shù)
B.函數(shù)F(x)的圖象關于直線$x=\frac{1}{2}$對稱
C.當$x=\frac{2}{3}$時,函數(shù)F(x)取得最大值
D.存在x0,使得$F({x_0})>\frac{7}{27}{V_{A-BCD}}$(其中VA-BCD為四面體ABCD的體積)

分析 由題意設出底面BCD的面積和高,由$\frac{{A{D_1}}}{AD}=x$,求出平面B1C1D1的面積,求出平面B1C1D1與平面BCD的距離,代入三棱錐體積公式求得函數(shù)V=F(x),然后利用導數(shù)求其單調(diào)區(qū)間和最值,逐一核對四個選項得答案.

解答 解:如圖,設四面體ABCD的底面積為S,高為h.
∵平面B1C1D1∥平面BCD,∴△B1C1D1∽△BCD,
又$\frac{A{D}_{1}}{AD}=x$,∴$\frac{{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}{C}_{1}}}{{S}_{△BCD}}={x}^{2}$,
∴${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}=S{x}^{2}$,
設A到平面B1C1D1的距離為h′,由$\frac{h′}{h}=\frac{A{D}_{1}}{AD}=x$,得h′=hx,
∴平面B1C1D1與平面BCD間的距離,即A1到平面B1C1D1的距離為h(1-x).
則V=$\frac{1}{3}•S{x}^{2}h(1-x)$=$\frac{1}{3}Sh({x}^{2}-{x}^{3})$(0<x<1),
V′=$\frac{1}{3}Sh(2x-3{x}^{2})$,由V′=0,得x=$\frac{2}{3}$,
當x∈(0,$\frac{2}{3}$)時,V′>0,當x∈($\frac{2}{3},1$)時,V′<0,
∴當x=$\frac{2}{3}$時,V有最大值等于$\frac{4}{81}Sh$.
故A,B錯誤,C正確;
又$\frac{4}{81}Sh<\frac{7}{81}Sh=\frac{7}{27}•\frac{1}{3}Sh=\frac{7}{27}{V}_{A-BCD}$,
∴不存在x0,使得$F({x_0})>\frac{7}{27}{V_{A-BCD}}$,D錯誤.
故選:C.

點評 本題考查棱錐體積的求法,訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值,是中檔題.

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