Question

4．某刺猬有2006根刺，當它蜷縮成球時滾到平面上，任意相鄰的三根刺都可以支撐住身體，且任意四根刺的刺尖不共面，問該刺猬蜷縮成球時，共有（　�。┓N不同的支撐身體的方式．

• A． 2006
• B． 4008
• C． 4012
• D． 2008

Answer 1

分析 由題意轉化為，當有n根刺時有a_n種支撐法，n=4，5，6，…則a_n+1=a_n+3-1=a_n+2或a_n+1=a_n+4-2=a_n+2，求出通項公式，即可求出答案．

解答 解：當有n根刺時有a_n種支撐法，n=4，5，6，…
則a_n+1=a_n+3-1=a_n+2或a_n+1=a_n+4-2=a_n+2，
∴{a_n}，n=4，5，6，…，為等差數列，
∵a₄=4
∴a_n=2n-4
∴a₂₀₀₆=4008，
故選B

點評 本題考察學生數學建模能力，從n到n+1會增加多少種支撐，分兩種情行討論，一是所加剌穿過三剌尖確定的三角形，a_n+1=a_n+3-1=a_n+2，二是所加剌尖在兩剌確定的平面上a_n+1=a_n+4-2由遞推式求數列通項，屬于中檔題．