15.在某次水下考古活動中,需要潛水員潛入水深為30米的水底進行作業(yè).其用氧量包含3個方面:①下潛時,平均速度為v(米/單位時間),單位時間內(nèi)用氧量為v2;②在水底作業(yè)需5個單位時間,每個單位時間用氧量為0.4;③返回水面時,平均速度為$\frac{v}{2}$(米/單位時間),單位時間用氧量為0.2.記該潛水員在此次考古活動中,總用氧量為y.
(1)將y表示為v的函數(shù);
(2)試確定下潛速度v,使總的用氧量最少.

分析 (1)利用已知條件直接求解y表示為v的函數(shù).
(2)利用基本不等式求解函數(shù)的最值即可.

解答 解:(1)①下潛時,平均速度為v(米/單位時間),單位時間內(nèi)用氧量為v2;②在水底作業(yè)需5個單位時間,每個單位時間用氧量為0.4;③返回水面時,平均速度為$\frac{v}{2}$(米/單位時間),單位時間用氧量為0.2.記該潛水員在此次考古活動中,總用氧量為y.
$y=\frac{30}{v}•{v^2}+5×0.4+\frac{30}{{\frac{v}{2}}}•0.2=2+30v+\frac{12}{v}(v>0)$…(8分)
(2)$y=2+30v+\frac{12}{v}≥2+2\sqrt{30v•\frac{12}{v}}=2+12\sqrt{10}$…(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)$30v=\frac{12}{v}$即$v=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$時取等號                               …(15分)
答:當(dāng)下潛速度為$v=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$時,總用氧量最少.                       …(16分)

點評 本題考查實際問題的求解方法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習(xí)冊系列答案
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5.在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.(φ$為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)直線l的極坐標(biāo)方程是$ρ(sinθ+\sqrt{3}cosθ)=3\sqrt{3}$,射線$OM:θ={θ_1}(0<{θ_1}<\frac{π}{2})$與圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求|OP|•|OQ|的范圍.

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6.某漁場有一邊長為20m的正三角形湖面ABC(如圖所示),計劃筑一條筆直的堤壩DE將水面分成面積相等的兩部分,以便進行兩類水產(chǎn)品養(yǎng)殖試驗(D在AB上,E在AC上).
(1)為了節(jié)約開支,堤壩應(yīng)盡可能短,請問該如何設(shè)計?堤壩最短為多少?
(2)將DE設(shè)計為景觀路線,堤壩應(yīng)盡可能長,請問又該如何設(shè)計?

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3.如圖所示,三棱錐P-ABC中,D是AC的中點,PA=PB=PC=$\sqrt{5}$,AC=2$\sqrt{2}$,AB=$\sqrt{2}$,BC=$\sqrt{6}$.
(1)求證:PD⊥平面ABC;
(2)(理科做文科不做)求二面角P-AB-C的正切值大。
(3)(文科做理不做)線段AB上是否存在一點E,使得BC∥面PDE?若存在,請給出證明,若不存在,請說明理由.

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10.要得到函數(shù)y=sin2(x$-\frac{π}{6}$),x∈R的圖象,只需把函數(shù)f(x)=sin2x,x∈R的圖象(  )
A.向右平移$\frac{π}{6}$個單位B.向右平移$\frac{π}{12}$個單位
C.向左平移$\frac{π}{6}$個單位D.向左平移$\frac{π}{12}$個單位

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20.如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD為平行四邊形,且AB=AD=1,AA1=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$,∠ABC=60°.
(1)求證:AC⊥BD1
(2)求四面體D1-AB1C的體積.

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7.設(shè)Sn為數(shù)列{cn}的前n項和,an=2n,bn=50-3n,cn=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}{,a}_{n}{>b}_{n}}\\{_{n}{,a}_{n}{<b}_{n}}\end{array}\right.$.
(1)求c4與c8的等差中項;
(2)當(dāng)n>5時,設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn
(ⅰ)求Tn;
(ⅱ)當(dāng)n>5時,判斷數(shù)列{Tn-34ln}的單調(diào)性.

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4.已知函數(shù)f(x)=alnx+b(a,b∈R),曲線f(x)在x=1處的切線方程為x-y-1=0.
(1)求a,b的值;  
(2)證明:f(x)+$\frac{1}{x}$≥1;
(3)已知滿足xlnx=1的常數(shù)為k.令函數(shù)g(x)=mex+f(x)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…),若x=x0是g(x)的極值點,且g(x)≤0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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19.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)可利用輔助角公式化為f(x)=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin(ωx+φ) (其中tanφ=$\frac{a}$).若f(x)的周期為π,且對一切x∈R,都有f(x)$≤f(\frac{π}{12})=4$;
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若g(x)=f($\frac{π}{6}-x$),求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

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