Question

17．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≥4}\\{x-3y+12≥0}\end{array}\right.$，則①2x-y的最大值是6；②$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$最小值是$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 ①利用線性規(guī)劃的內(nèi)容作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=2x-y，然后根據(jù)直線平移確定目標(biāo)函數(shù)的最大值．
②$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（0，1）的距離，根據(jù)距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：①作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖
由z=2x-y得y=2x-z，平移直線y=2x-z，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x-3y+12=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（6，6）
代入z=2x-y得最大值為6．
②$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（0，1）的距離，由圖象知D到直線x+y=4的距離最小，
此時(shí)d=$\frac{|0+1-4|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為：①6； ②$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域的知識，以及線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的關(guān)鍵．