Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的短軸長為2，離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）T₁，T₂為橢圓上不同兩點，過T₁，T₂作橢圓切線交于點P，若T₁P⊥T₂P，求點P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）若PT₁交E于Q₁，PT₂交E與Q₂，求△PQ₁Q₂面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)P（m，n），切線的方程為y-n=k（x-m），代入橢圓方程，運用判別式為0，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡可得P的軌跡方程；
（Ⅲ）由題意可得Q₁Q₂為圓的直徑，設(shè)∠PQ₁Q₂=α，即有PQ₁=2$\sqrt{3}$cosα，PQ₂=2$\sqrt{3}$sinα，運用三角函數(shù)的二倍角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得2b=2，即b=1，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-c²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），切線的方程為y-y₀=k（x-x₀），
可得y=kx+（y₀-kx₀），
代入橢圓方程x²+2y²=2，
即有（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（y₀-kx₀）²-2=0，
由直線與橢圓相切，可得△=0，
即為16k²（y₀-kx₀）²-8（1+2k²）[（y₀-kx₀）²-1]=0，
化為k²（x₀²-2）-2kx₀y₀+y₀²-1=0，
由T₁P⊥T₂P，可得k₁k₂=-1，
即有$\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}^{2}-2}$=-1，
化為x₀²+y₀²=3，
可得點P的軌跡E的方程為圓x²+y²=3；
（Ⅲ）PT₁交E于Q₁，PT₂交E與Q₂，可得
Q₁Q₂為圓的直徑，
設(shè)∠PQ₁Q₂=α，即有PQ₁=2$\sqrt{3}$cosα，PQ₂=2$\sqrt{3}$sinα，
則△PQ₁Q₂面積為S=$\frac{1}{2}$PQ₁•PQ₂=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$cosα•2$\sqrt{3}$sinα
=6sinαcosα=3sin2α，
當α=45°時，sin2α取得最大值1，
即有△PQ₁Q₂面積的最大值為3．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查直線和橢圓相切的條件：判別式為0，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．