Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長(zhǎng)軸上有一頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為：3+2

2

，3-2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)P橢圓上第一象限，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，若滿足

PF1

•

PF2

=0，求點(diǎn)P到橢圓右準(zhǔn)線的距離；
（3）過點(diǎn)Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，求證：λ+μ為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

a+c=3+2 2 a-c=3-2 2

，由此能求出橢圓方程．
（2）由點(diǎn)P是橢圓上第一象限的點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，滿足

PF1

•

PF2

=0，得PF₁⊥PF₂，設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），則

PF1

•

PF2

=（-2

2

-x，-y）•（2

2

-x，-y）=x²+y²-8=0，與橢圓方程聯(lián)立解得x=

126

4

，y=

2

4

．由此能求出點(diǎn)P到橢圓右準(zhǔn)線的距離．
（3）依題意，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），由方程組

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明λ+μ=-

9

4

為定值．

解答： （1）解：由已知得

a+c=3+2 2 a-c=3-2 2

，
解得a=3，c=2

2

，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓方程為

x2

9

+y2=1．
（2）解：∵點(diǎn)P是橢圓上第一象限的點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，滿足

PF1

•

PF2

=0，
∴PF₁⊥PF₂，
由（1）知a=3，b=1，c=2

2

，
設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），
則

PF1

•

PF2

=（-2

2

-x，-y）•（2

2

-x，-y）=x²+y²-8=0，
聯(lián)立

x2 9 +y2=1 x2+y2-8=0 x＞0 y＞0

，解得x=

126

4

，y=

2

4

．
∴點(diǎn)P到橢圓右準(zhǔn)線的距離：d=

a2

c

-

126

4

=

9

2 2

-

126

4

=

9 2 - 126

4

．
（3）證明：依題意，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
設(shè)M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以x₃+x₄=

18k2

1+9k2

，①
x₃x₄=

9k2-9

1+9k2

，②
因?yàn)?span id="frt3fdx" class="MathJye">

RM

=λ

MQ

，所以（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]，
即

x3=λ(1-x3) y3-y5=-λy3

，所以x₃=λ（1-x₃），
又l與x軸不垂直，所以x₃≠1，
所以λ=

x3

1-x3

，同理μ=

x4

1-x4

．
所以λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x4+x3)+x3x4

將①②代入上式可得λ+μ=-

9

4

為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查兩數(shù)和為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．