Question

1．已知F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F₁且垂直于實軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點，若坐標(biāo)原點O恰為△ABF₂的垂心（三角形三條高的交點），則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{21}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組求出交點A，B的坐標(biāo)，結(jié)合三角形垂心的定義，建立垂直關(guān)系得到a，c的關(guān)系即可．

解答 解：F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x
則當(dāng)x=-c時，y=±$\frac{a}$•c=±$\frac{bc}{a}$
設(shè)A（-c，$\frac{bc}{a}$），B（-c，-$\frac{bc}{a}$），
∵若坐標(biāo)原點O恰為△ABF₂的垂心，
∴OA⊥BF₂，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=0，
即（-c，$\frac{bc}{a}$）•（2c，$\frac{bc}{a}$）=0，
則-2c²+（$\frac{bc}{a}$）²=0，
即b²=2a²，
∵b²=2a²=c²-a²，
∴c²=3a²，
則c=$\sqrt{3}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}a}{a}$=$\sqrt{3}$，
故選：C

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)條件求出交點坐標(biāo)結(jié)合三角形的垂心的定義建立垂直關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．