Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓mx²+y²=m（0＜m＜1）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，若$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$的最小值為$\frac{4}{3}$，則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，再由$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$的最小值為$\frac{4}{3}$，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|$取最大值為a+c時(shí)成立，求得c值，則橢圓離心率可求．

解答 解：令|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=s，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=t，
則$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$為$\frac{{t}^{2}+s}{s}$，其最小值為$\frac{4}{3}$，
則$\frac{{t}^{2}}{s}$的最小值為$\frac{1}{3}$．
由橢圓mx²+y²=m，得${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，
∵0＜m＜1，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2．
∴$\frac{（2-s）^{2}}{s}=\frac{4}{s}+s-4≥\frac{1}{3}$，
∴$\frac{4}{s}+s≥\frac{13}{3}$，
由$\frac{4}{s}+s=\frac{13}{3}$，解得s=$\frac{4}{3}$或s=3（舍）．
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)s有最大值為a+c=$\frac{4}{3}$時(shí)，$\frac{{t}^{2}+s}{s}$有最小值為$\frac{4}{3}$，
即1+c=$\frac{4}{3}$，得c=$\frac{1}{3}$．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓定義的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性求函數(shù)最值，是中檔題．