Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AP=AB=AC=a，AD=$\sqrt{2}$a，PA⊥底面ABCD．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（2）在棱PC上是否存在一點E，使得四棱錐E-ABCD的體積為$\frac{{\sqrt{2}{a^3}}}{6}$？若存在，求出λ=$\frac{CE}{CP}$的值？若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得：CD⊥AC，由線面垂直得PA⊥CD，從而CD⊥面PAC，由此能證明平面PCD⊥平面PAC．
（2）由AB⊥AC，PA⊥底面ABCD，過E作EG⊥AC于G，PA⊥底面ABCD，從而V_{四棱錐E-ABCD}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}•EG，由此能求出在棱PC上存在一點E，使得四棱錐E-ABCD的體積為$\frac{\sqrt{2}a3}{6}$，且λ=$\frac{CE}{CP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 證明：（1）在△ACD中，AC=a，CD=a，AD=$\sqrt{2}$a，
由勾股定理得：CD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，
AC?面PAC，PA?面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又∵CD?面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAC．
解：（2）由（1）知：AB⊥AC，又PA⊥底面ABCD
過G作EG⊥AC于G，PA⊥底面ABCD，PA⊆平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
又EG⊆平面PAC，∴EG⊥平面ABCD，∴EG即為四棱錐E-ABCD高，
∴V_{四棱錐E-ABCD}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}•EG
=$\frac{1}{3}$×a×a×EG=$\frac{1}{3}$a²•EG，
由題意：$\frac{1}{3}$a²•EG=$\frac{\sqrt{2}a3}{6}$，∴EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
又∵PA⊥底面ABCD，EG⊥平面ABCD，
∴PA∥EG，∴$\frac{EG}{PA}$=$\frac{CE}{CP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴在棱PC上存在一點E，使得四棱錐E-ABCD的體積為$\frac{\sqrt{2}a3}{6}$，且λ=$\frac{CE}{CP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法及應(yīng)用，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．