Question

14．在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（7，0），其傾斜角為α，以原點(diǎn)o為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-6ρcosθ+5=0．
（1）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求α的取值范圍：
（2）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，求$2x+\frac{3}{2}y$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²-6ρcosθ+5=0化為直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=7+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得t²+8tcosα+12=0，根據(jù)直線l與曲線C有公共點(diǎn)，可得△≥0，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）曲線C的方程x²+y²-6x+5=0可化為（x-3）²+y²=4，其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），設(shè)M（x，y）為曲線上任意一點(diǎn)，可得2x+$\frac{3}{2}$y=6+4cosθ+3sinθ，利用和差公式化簡(jiǎn)即可得出取值范圍．

解答 解：（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²-6ρcosθ+5=0化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6x+5=0，
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=7+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
將參數(shù)方程代入x²+y²-6x+5=0，整理得t²+8tcosα+12=0，
∵直線l與曲線C有公共點(diǎn)，∴△=64cos²α-48≥0，
∴cosα≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或cosα$≤-\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵α∈[0，π），
∴α的取值范圍是$[0，\frac{π}{6}]$∪$[\frac{5π}{6}，π）$．
（2）曲線C的方程x²+y²-6x+5=0可化為（x-3）²+y²=4，
其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
∵M(jìn)（x，y）為曲線上任意一點(diǎn)，
∴$2x+\frac{3}{2}y=6+4cosθ+3sinθ=6+5sin（{θ+φ}）（sinφ=\frac{4}{5}，cosφ=\frac{3}{5}）$，
∴$2x+\frac{3}{2}y$的取值范圍是[1，11]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．