Question

1．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax，g（x）=-ax²+2x-2，（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=lnx+1-a，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），問(wèn)題等價(jià)于h_min≥0，x∈[1，+∞），求出h′（x）=2ax+lnx-a-1，令m（x）=2ax+lnx-a-1，則${m}^{'}（x）=2a+\frac{1}{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx-ax，∴函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
f′（x）=lnx+1-a，令f′（x）＞0，即lnx+1-a＞0，得x＞e^a-1，
令f′（x）＜0，即lnx+1-a＜0，得0＜x＜e^a-1，
∴f（x）的增區(qū)間為（e^a-1，+∞），減區(qū)間為（0，e^a-1），
∴f_min（x）=f（e^a-1）=e^a-1lne^a-1-a•e^a-1=-e^a-1．…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）恒成立，令h（x）=f（x）-g（x），
∴問(wèn)題等價(jià)于h_min≥0，x∈[1，+∞），…（5分）
∵h(yuǎn)（x）=xlnx+ax²-ax-2x+2，
∴h′（x）=2ax+lnx-a-1，
令m（x）=2ax+lnx-a-1，則${m}^{'}（x）=2a+\frac{1}{x}$，
∵x≥1，a＞0，∴${m}^{'}（x）=2a+\frac{1}{x}$＞0，
∴m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x≥1時(shí)，m（x）≥m（1）=a-1，…（8分）
若m（1）=a-1≥0，即a≥1時(shí)，h′（x）=m（x）≥m（1）=a-1≥0恒成立，
此時(shí)h（x）=xlnx+ax²-ax-2x+2在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（1）=0，
∴a≥1滿足題意…（11分）
下面證明當(dāng)0＜a＜1不合題意，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵h(yuǎn)′（x）=2ax+lnx-a-1，h′（1）=a-1＜0，h′（e）=2ae-a＞0，
由上面可知h′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h′（x）=2ax+lnx-a-1=0在（1，e）上有唯一解，設(shè)為x₀，
∴當(dāng)x∈[1，x₀）時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)h（x₀）＜h（1）=0不合題意．
綜上a≥1．
∴a的取值范圍[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．