Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=ax³+bx²-3x，
∴f'（x）=3ax²+2bx-3，
∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值，
∴f'（1）=f'（-1）=0…（3分）
即3a+2b-3=3a-2b-3=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x…（6分）
（2）證明：∵f（x）=x³-3x
∴f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）…（7分）
當-1＜x＜1時，f'（x）＜0，
故f（x）在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù) …（9分）
f（x）_max=f（-1）=2，
f（x）_min=f（1）=-2…（11分）
∴對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|
≤|f（x）_max-f（x）_min|
=2-（-2）=4…（12分）
分析：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，依題意，f'（1）=f'（-1）=0，由此能求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由f（x）=x³-3x，知f'（x）=3（x+1）（x-1）．當-1＜x＜1時，f'（x）＜0，由此能夠證明對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應用，具體涉及到函數(shù)解析式的求法和不等式的證明，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．