Question

已知斐波那契數(shù)列{F_n}滿(mǎn)足：F₁=1，F(xiàn)₂=1，F(xiàn)_n+2=F_n+1+F_n（n∈N*），若數(shù)列{F_n+1+λF_n}是等比數(shù)列（λ為實(shí)常數(shù)）．
（1）求出所有λ的值，并求數(shù)列{F_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

1

F1

+

1

F2

+…+

1

F2007

＜

7

2

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)F_n+2+λF_n+1=q（F_n+1+λF_n）（q≠0）則F_n+2=（q-λ）F_n+1+qλF_n，又因?yàn)镕_n+2=F_n+1+F_n，所以

q-λ=1 qλ=1

，由此能夠求出所有λ的值，并求出數(shù)列{F_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由F_n＞0，知F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+1，{F_n}為遞增數(shù)列．所以F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+F_n，即F_n+2＞2F_n．由此入手能夠證明

1

F1

+

1

F2

+…+

1

F2007

＜

7

2

．

解答：解：（1）設(shè)F_n+2+λF_n+1=q（F_n+1+λF_n）（q≠0），
則F_n+2=（q-λ）F_n+1+qλF_n
又因?yàn)镕_n+2=F_n+1+F_n
∴

q-λ=1 qλ=1

，
解得

λ= -1+ 5 2 q= 1+ 5 2

或

λ= -1- 5 2 q= 1- 5 2

------（3分）；
∴數(shù)列{Fn+1+

-1+ 5

2

Fn}和{Fn+1+

-1- 5

2

Fn}都是等比數(shù)列
∴

Fn+1+ -1+ 5 2 Fn=( 1+ 5 2 )n Fn+1+ -1- 5 2 Fn=( 1- 5 2 )n

兩式相減得，Fn=

1

5

[(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n]----（8分）；
（2）證：顯然F_n＞0，
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+1，
∴{F_n}為遞增數(shù)列．
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+F_n，
即F_n+2＞2F_n----（12分）；
∴F₇＞2F₅=2×5，F(xiàn)₉＞2F₇＞2²F₅=2²×5，…，
F₂₀₀₇＞2F₂₀₀₅＞2²F₂₀₀₃＞…＞2¹⁰⁰¹F₅=2¹⁰⁰¹×5
∴F₈＞2F₆=2×8，F(xiàn)₁₀＞2F₈＞2²F₆=2²×8，…，
F₂₀₀₆＞2F₂₀₀₄＞2²F₂₀₀₂＞…＞2¹⁰⁰⁰F₆=2¹⁰⁰⁰×8---（16分）；

∴ 1 F1 + 1 F2 +…+ 1 F2007 ＜1+1+ 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 8

+(

1

2×5

+

1

22×5

+…+

1

21001×5

)+(

1

2×8

+

1

22×8

=

5

2

+

1

3

+

1

5

+

1

8

+

1

5

×

1 2 [1-( 1 2 )1001]

1- 1 2

+

1

8

×

1 2 [1-( 1 2 )1000]

1- 1 2

＜

5

2

+

1

3

+

1

5

+

1

8

+

1

5

+

1

8

∴

1

F1

+

1

F2

+…+

1

F2007

＜

7

2

--（20分）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，難度是高考的重點(diǎn)，計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意培養(yǎng)計(jì)算能力，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．