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已知斐波那契數列{Fn}滿足:F1=1,F2=1,Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N*),若數列{Fn+1+λFn}是等比數列(λ為實常數).
(1)求出所有λ的值,并求數列{Fn}的通項公式;
(2)求證:
【答案】分析:(1)設Fn+2+λFn+1=q(Fn+1+λFn)(q≠0)則Fn+2=(q-λ)Fn+1+qλFn,又因為Fn+2=Fn+1+Fn,所以,由此能夠求出所有λ的值,并求出數列{Fn}的通項公式.
(2)由Fn>0,知Fn+2=Fn+1+Fn>Fn+1,{Fn}為遞增數列.所以Fn+2=Fn+1+Fn>Fn+Fn,即Fn+2>2Fn.由此入手能夠證明
解答:解:(1)設Fn+2+λFn+1=q(Fn+1+λFn)(q≠0),
則Fn+2=(q-λ)Fn+1+qλFn
又因為Fn+2=Fn+1+Fn
,
解得------(3分);


兩式相減得,----(8分);
(2)證:顯然Fn>0,
∴Fn+2=Fn+1+Fn>Fn+1,
∴{Fn}為遞增數列.
∴Fn+2=Fn+1+Fn>Fn+Fn
即Fn+2>2Fn----(12分);
∴F7>2F5=2×5,F9>2F7>22F5=22×5,…,
F2007>2F2005>22F2003>…>21001F5=21001×5
∴F8>2F6=2×8,F10>2F8>22F6=22×8,…,
F2006>2F2004>22F2002>…>21000F6=21000×8---(16分);
+=×
--(20分);
點評:本題考查數列與不等式的綜合應用能力,綜合性強,難度是高考的重點,計算繁瑣,容易出錯.解題時要認真審題,注意培養(yǎng)計算能力,注意合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

在數列{an}.中,如果對任意的n∈N,都有
an+2
an+1
-
an+1
an
=e(e為常數),則稱數列{an}為比等差數列,e稱為比公差.現給出下列命題:
①等比數列一定是比等差數列,等差數列不一定是比等差數列;
②如果{an}是等差數列,{bn}是等比數列,那么數列{anbn}是比等差數列:
③斐波那契數列{Fn}不是比等差數列;
④若an=2n-1•(n-1),則數列{an}為比等差數列,比公差e=2.
其中正確命題的序號是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知斐波那契數列{Fn}滿足:F1=1,F2=1,Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N*),若數列{Fn+1+λFn}是等比數列(λ為實常數).
(1)求出所有λ的值,并求數列{Fn}的通項公式;
(2)求證:
1
F1
+
1
F2
+…+
1
F2007
7
2

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科目:高中數學 來源: 題型:填空題

在數列{an}.中,如果對任意的n∈N,都有數學公式-數學公式=e(e為常數),則稱數列{an}為比等差數列,e稱為比公差.現給出下列命題:
①等比數列一定是比等差數列,等差數列不一定是比等差數列;
②如果{an}是等差數列,{bn}是等比數列,那么數列{anbn}是比等差數列:
③斐波那契數列{Fn}不是比等差數列;
④若an=2n-1•(n-1),則數列{an}為比等差數列,比公差e=2.
其中正確命題的序號是________.

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科目:高中數學 來源:2011年湖南省懷化市高考數學一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

在數列{an}.中,如果對任意的n∈N,都有-=e(e為常數),則稱數列{an}為比等差數列,e稱為比公差.現給出下列命題:
①等比數列一定是比等差數列,等差數列不一定是比等差數列;
②如果{an}是等差數列,{bn}是等比數列,那么數列{anbn}是比等差數列:
③斐波那契數列{Fn}不是比等差數列;
④若an=2n-1•(n-1),則數列{an}為比等差數列,比公差e=2.
其中正確命題的序號是   

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