Question

16．（2）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$，
（i）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=4，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=-1，求$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值；
（ii）若P為AD上任一點，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$恒成立，求證：2AC=BC．

Answer 1

分析 （i）建立坐標(biāo)系，設(shè)C（a，0），A（m，n），求出各向量的坐標(biāo)，根據(jù)條件列出方程組解出a²和m²+n²，從而可得$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值；
（ii）設(shè)P（λm，λn），根據(jù)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$恒成立得出關(guān)于λ的不等式恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出△≤0，從而得出m，n和a的關(guān)系，帶入距離公式化簡即可得出結(jié)論．

解答 解：（i）∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$，∴E，F(xiàn)為AD的四等分點．
以BC為x軸，以D為原點建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)B（-a，0），C（a，0），A（m，n），則E（$\frac{3m}{4}$，$\frac{3n}{4}$），F(xiàn)（$\frac{m}{4}$，$\frac{n}{4}$），
∴$\overrightarrow{BA}$=（m+a，n），$\overrightarrow{CA}$=（m-a，n），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{m}{4}+a$，$\frac{n}{4}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{m}{4}-a$，$\frac{n}{4}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{3m}{4}+a$，$\frac{3n}{4}$），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{3m}{4}-a$，$\frac{3n}{4}$），
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=4，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-{a}^{2}+{n}^{2}=4}\\{\frac{{m}^{2}}{16}-{a}^{2}+\frac{{n}^{2}}{16}=-1}\end{array}\right.$，解得m²+n²=$\frac{16}{3}$，a²=$\frac{4}{3}$．
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$=$\frac{9{m}^{2}}{16}$-a²+$\frac{9{n}^{2}}{16}$=$\frac{9}{16}$（m²+n²）-a²=$\frac{5}{3}$．
（ii）∵P為AD上任一點，設(shè)P（λm，λn），則$\overrightarrow{PA}$=（（1-λ）m，（1-λ）n），$\overrightarrow{PC}$=（a-λm，-λn），
$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{m}{4}$，$\frac{n}{4}$），$\overrightarrow{EC}$=（a-$\frac{3m}{4}$，-$\frac{3n}{4}$），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=（1-λ）m（a-λm）-（1-λ）λn²=（1-λ）（ma-λm²-λn²），$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$=$\frac{m}{4}（a-\frac{3m}{4}）$-$\frac{3{n}^{2}}{16}$=$\frac{am}{4}$-$\frac{3{m}^{2}}{16}$-$\frac{3{n}^{2}}{16}$．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$恒成立，
∴（$\frac{3}{4}$-λ）ma+（λ²-λ+$\frac{3}{16}$）（m²+n²）≥0恒成立，
即（m²+n²）λ²-（m²+n²+ma）λ+$\frac{3}{16}$（m²+n²）+$\frac{3}{4}$ma≥0恒成立，
∴△=（m²+n²+ma）²-4（m²+n²）[$\frac{3}{16}$（m²+n²）+$\frac{3}{4}$ma]≤0，
即$\frac{1}{4}$（m²+n²）²-ma（m²+n²）+m²a²≤0，∴[$\frac{1}{2}$（m²+n²）-ma]²≤0，
∴$\frac{1}{2}$（m²+n²）=ma，即m²-2ma=-n²，
∴AC=$\sqrt{（m-a）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-2ma+{a}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}}$=a，
又BC=2a，
∴2AC=BC．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，平面向量在幾何中的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系將向量運算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算，屬于中檔題．