Question

4．已知無窮等比數(shù)列{a_n}中，${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}{a_3}=-\frac{1}{12}$，則$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）$=$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 設無窮等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運用等比數(shù)列的通項公式解方程可得q，再由等比數(shù)列的前n項和的公式，結合極限公式，即可得到所求值．

解答 解：設無窮等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}{a_3}=-\frac{1}{12}$，
可得$\frac{3}{2}$q•$\frac{3}{2}$q²=-$\frac{1}{12}$，
解得q=-$\frac{1}{3}$，
則$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{3}{2}[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{3}）}$
=$\frac{\frac{3}{2}}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{9}{8}$．
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查數(shù)列的極限的求法，注意運用無窮遞縮等比數(shù)列的極限公式，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及運算能力，屬于中檔題．