Question

19．已知集合{φ|f（x）=sin[（x-2φ）π]+cos[（x-2φ）π]為奇函數(shù)，且|log_aφ|＜1}的子集個數(shù)為4，則a的取值范圍為（$\frac{8}{13}，\frac{5}{8}$）∪（$\frac{8}{5}，\frac{13}{8}$）．

Answer 1

分析 由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得φ=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{8}$，k∈Z．再由題意可得滿足|log_aφ|＜1的φ有2個，即滿足-1＜log_aφ＜1的φ有2個．分別取k=0，1，2，3，得到φ=$\frac{1}{8}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{9}{8}$，$\frac{13}{8}$，
對a分類可得a的取值范圍．

解答 解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x-2φ）π]+cos[（x-2φ）π]為奇函數(shù)，
∴f（0）=sin（-2φπ）+cos（-2φπ）=cos2φπ-sin2φπ=0，
∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+$\frac{π}{4}$，則φ=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{8}$，k∈Z．
驗證φ=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{8}$，k∈Z時，f（x）=sin[（x-2φ）π]+cos[（x-2φ）π]
=sin[（x-k-$\frac{1}{4}$）π]+cos[（x-k-$\frac{1}{4}$）π]=sin（πx-$\frac{π}{4}$）+cos（$πx-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}sinπx$為奇函數(shù)．
∴φ=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{8}$，k∈Z．
∵集合{φ|f（x）=sin[（x-2φ）π]+cos[（x-2φ）π]為奇函數(shù)，且|log_aφ|＜1}的子集個數(shù)為4，
∴滿足|log_aφ|＜1的φ有2個，即滿足-1＜log_aφ＜1的φ有2個．
分別取k=0，1，2，3，得到φ=$\frac{1}{8}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{9}{8}$，$\frac{13}{8}$，
若0＜a＜1，可得a∈（$\frac{8}{13}，\frac{5}{8}$）時，滿足-1＜log_aφ＜1的φ有2個；
若a＞1，可得a∈（$\frac{8}{5}，\frac{13}{8}$）時，滿足-1＜log_aφ＜1的φ有2個．
則a的取值范圍為（$\frac{8}{13}，\frac{5}{8}$）∪（$\frac{8}{5}，\frac{13}{8}$）．
故答案為：（$\frac{8}{13}，\frac{5}{8}$）∪（$\frac{8}{5}，\frac{13}{8}$）．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查邏輯思維能力與推理運算能力，屬難題．