Question

6．已知橢圓C的兩個焦點坐標分別為E（-1，0），F（1，0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．設M，N為橢圓C上關于x軸對稱的不同兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，試求點M的坐標；
（Ⅲ）若A（x₁，0），B（x₂，0）為x軸上兩點，且x₁x₂=2，試判斷直線MA，NB的交點P是否在橢圓C上，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意可設橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，可得：$c=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，b²=a²-c²，解出即可得出．
（II）由$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，可得$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{EN}=0$，即（m+1）²-n²=0．由點M（m，n）在橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，可得$\frac{m^2}{2}+{n^2}=1$聯立解出即可得出．
（III）利用直線的交點、一元二次方程的根與系數的關系、點與橢圓的位置關系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意可設橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
則$c=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$c=1，a=\sqrt{2}$，（2分）
又b²=a²-1=1，（3分）
因此，所求的橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．（4分）
（Ⅱ）設M（m，n），N（m，-n），則$\overrightarrow{EM}=（m+1，n）$，$\overrightarrow{EN}=（m+1，-n）$，
因為$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，所以$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{EN}=0$，即（m+1）²-n²=0①．（5分）因為點M（m，n）在橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，所以$\frac{m^2}{2}+{n^2}=1$②．         （6分）
由①②解得 $m=0，\;\;n=±1，m=-\frac{4}{3}，\;\;n=±\frac{1}{3}$．      （7分）
因此，符合條件的點有（0，1）、（0，-1）、$（{-\frac{4}{3}，\frac{1}{3}}）$、$（{-\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}}）$．（8分）
（Ⅲ）直線MA的方程為y（m-x₁）=n（x-x₁）③，
直線NB的方程為y（m-x₂）=-n（x-x₂）④．（9分）
設直線MA與直線NB交點為P（x₀，y₀），將其坐標代入③、④并整理，得（y₀-n）x₁=my₀-nx₀⑤
（y₀+n）x₂=my₀+nx₀⑥（10分）
⑤與⑥相乘得 $（y_0^2-{n^2}）{x_1}{x_2}={m^2}y_0^2-{n^2}x_0^2$⑦，（11分）
又x₁x₂=2，m²=2-2n²，代入⑦化簡得 $x_0^2+2y_0^2=2$，
因此，直線MA與直線NB的交點P仍在橢圓C上．（12分）

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、向量垂直與數量積的關系、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．