Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a，x＜0}\\{-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得曲線y=f（x）在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)f（x）在點(diǎn)A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出a=$\frac{1}{4}$（t⁴-2t²-8t+1），判斷單調(diào)性，可得出a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+1；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，
當(dāng)x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時(shí)，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當(dāng)x₁＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x₁，f（x₁））處的切線方程為：
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
當(dāng)x₂＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂）．
兩直線重合的充要條件是$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=2x₁+1①，-$\frac{2}{{x}_{2}}$=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，由①②令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，則0＜t＜1，
且a=$\frac{1}{4}$（t⁴-2t²-8t+1），導(dǎo)數(shù)為a′=t³-t-2，且a′＜0在（0，1）恒成立，
則函數(shù)a在（0，1）為減函數(shù)，
∴-2＜a＜$\frac{1}{4}$，
故答案為：（-2，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理論證能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．