Question

4．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．且經(jīng)過點（0，1），C與x軸交于A，B兩點，以AB為直徑的圓記為C₁，P是C₁上的異于A，B的點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若PA與橢圓C交于點M，且滿足|PB|=2|OM|，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，求解方程組得a=2，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由已知可得PA⊥PB，結(jié)合|PB|=2|OM|且O為AB的中點，可得OM為的△ABP中位線，且OM⊥AP．設(shè)出點M的坐標，由點在橢圓上及OM⊥AM得關(guān)于s，t的方程組，求得s，t的值，再由中點坐標公式求得點P的坐標．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）∵點P在曲線C₁上，∴PA⊥PB，
又∵|PB|=2|OM|，且O為AB的中點，
∴OM為的△ABP中位線，且OM⊥AP．
否則|PB|＜2|OM|，與|PB|=2|OM|矛盾．
設(shè)點M的坐標為（s，t），
∵點M在曲線C上，∴s²+4t²-4=0，①
∵OM⊥AM，∴（s+1）²+t²=1，②
由②得：t²=1-（s+1）²，代入①整理得：3s²+8s+4=0．
解得：$s=-\frac{2}{3}$或s=-2（舍），∴$t=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀）
則 $\frac{{-2+{x_0}}}{2}=-\frac{2}{3}，\;\frac{y_0}{2}=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴${x_0}=\frac{2}{3}，{y_0}=±\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．
∴點P的坐標為$（-\frac{2}{3}，±\frac{{4\sqrt{2}}}{3}）$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與圓、橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．