Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，，n∈N^*，p＞0，且p≠1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2log_pa_n
（1）求a_n，b_n；
（2）若，設數(shù)列的前n項和為T_n，求證：0＜T_n≤4．

Answer 1

（1）解：當n=1時，（P-1）a₁=P²-a₁，∴a₁=P
當n≥2時，（P-1）S_n=P²-a_n①，（P-1）S_n-1=P²-a_n-1②
由①-②得：=，
所以數(shù)列{a_n}是以a₁=P為首項，公比為的等比數(shù)列．
∴a_n=P^2-n；
∴b_n=2log_pa_n=4-2n；
（2）證明：，=
∴T_n=2×+0×+…+
∴T_n=2×+0×+…++
兩式相減可得T_n=2×-2×（++…+）-
∴T_n=＞0
∵當n＞2時，T_n-T_n-1=＜0，∴T_n≤T₃=3
∵T₁=T₂=4，
∴0＜T_n≤4．
分析：（1）由于正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且（p-1）S_n=p²-a_n，（n∈N^*，p＞0，p≠1），利用已知數(shù)列的前n項和求其通項的公式及等比數(shù)列的定義即可求得a_n，利用b_n=2log_pa_n，可求b_n；
（2）利用錯位相減法求得數(shù)列的和，即可證得結論．
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，正確運用錯位相減法是解題的關鍵．