Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1，若?x₀∈（0，+∞），使得f（lgx₀）＞f（x₀）成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 可知lgx₀＜x₀，從而根據(jù)條件便可判斷f（x）為減函數(shù)或存在極值點，求導數(shù)f′（x）=e^x-a，從而可判斷f（x）不可能為減函數(shù)，只能存在極值點，從而方程a=e^x有解，這樣由指數(shù)函數(shù)y=e^x的單調(diào)性即可得出a的取值范圍．

解答 解：∵lgx₀＜x₀；
∴要滿足?x₀∈（0，+∞），使f（lgx₀）＞f（x₀），則：
函數(shù)f（x）為減函數(shù)或函數(shù)f（x）存在極值點；
∵f′（x）=e^x-a；
x∈（0，+∞）時，f′（x）≤0不恒成立，即f（x）不是減函數(shù)；
∴只能f（x）存在極值點，∴f′（x）=0有解，即a=e^x有解；
∴a∈（1，+∞）；
即a的取值范圍為（1，+∞）．
故選：C．

點評 考查函數(shù)y=lgx和y=x圖象的位置關(guān)系，減函數(shù)的定義，函數(shù)極值和極值點的定義，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．